Nombre dérivé et équation de la tangente - Exercice résolu

On considère la fonction \(f\) définie sur  \([0~;+\infty[\) par \(f(x)=\dfrac{x-2}{x+1}\) dont la courbe représentative est donnée ci-dessous.

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1. Tracer approximativement la tangente  \(\mathcal{T}\) au point d'abscisse \(a=1\) .

2. Déterminer graphiquement une valeur approchée de `f'(1).`

3. En déduire l'équation réduite de  \(\mathcal{T}\) .

4. Vérifier les résultats des questions précédentes en utilisant GeoGebra.

Solution

1.

2. Les points \(\text{A}(1~;-0{,}5)\) et \(\text{B}(3~;1)\) appartiennent à \(\mathcal{T}\) .

Par définition, \(f'(1)\) est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse  \(1\) .

  \(\mathcal{T}\) a pour coefficient directeur : \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{1{,}5}{2}=0{,}75\cdot\)

On obtient \(f'(1)=0{,}75\) .

3. L'équation réduite de \(\mathcal{T}\) est de la forme \(y=0{,}75x+p\) .

B appartient à \(\mathcal{T}\) , donc : \(y_\text{B}=0{,}75x_\text{B}+p\)

soit :                                    \(p=y_\text{B}-0{,}75x_\text{B}\)

                                            \(p=1-0{,}75\times3=-1{,}25.\)

Conclusion : \(\mathcal{T}\) a pour équation   \(y=0{,}75x-1{,}25\) .